\input{naglowek.tex}

\title{Notatki z Analizy - Szeregi}
\date{19/11/2007}

\begin{document}
%\maketitle
\begin{definicja}
 Niech dany będzie ciąg $(a_n )_{n \in \mathbb{N}}$ liczb rzeczywistych. Szeregiem o wyrazach $a_n$ nazywamy ciąg $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sum częściowych:
 \begin{equation}
  S_n = \sum^n_{k=1} a_k
 \end{equation}
 Szereg taki oznaczamy $\sum^\infty_{k=1} a_n$. Mówimy, że szereg zbieżny, jeśli istnieje skończona granica $S$ ciągu $(S_n)_{\mathbb{N}}$. Liczbę rzeczywistą $S$ nazywamy sumą szeregu i piszemy $S=\sum^{\infty}_{n=1} a_n$.
 
 Jeżeli $\lim_{n\rightarrow\infty} S_n = + \infty$ (lub $-\infty$) to mówimy, że szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest rozbieżny do $+\infty$ (odpowiednio $-\infty$).
 
 Jeżeli $\lim_{n\rightarrow\infty} S_n$ nie istnieje, to szereg taki nazywamy rozbieżnym.
\end{definicja}

\underline{Przykłady}
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{gather}
  \sum^\infty_{n=1} q^n = \frac{q}{1-q} \quad \textrm{dla}\quad |q| < 1, \textrm{bo}\\
  S_n = q+ q^2 + \ldots + q^n \overset{def}{=} q \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{q}{1-q}
 \end{gather}
 \item
 \begin{equation}
  \sum^\infty_{n=1} = +\infty \quad \textrm{bo} \quad S_n = \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_n = n
 \end{equation}
\end{enumerate}

\begin{tw}[warunek konieczny zbieżności szeregu]
 Jeżeli szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest zbieżny, to $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0$.
\end{tw}
\begin{proof}
 \begin{equation}
  a_n = S_n - S_{n-1} \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} S-S = 0
 \end{equation}
\end{proof}
\begin{tw}
 Jeżeli szeregi $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$, $\sum^{\infty}_{n=1} b_n$ są zbieżne, to zbieżne są szeregi $\sum^{\infty}_{n=1} (a_n+b_n)$, $\sum^{\infty}_{n=1} (a_n-b_n)$, $\sum^{\infty}_{n=1} c \cdot a_n, c \in \mathbb{R}$, oraz:
 \begin{gather}
  \sum^{\infty}_{n=1} (a_n + b_n) = \sum^{\infty}_{n=1} a_n + \sum^{\infty}_{n=1} b_n\\
  \sum^{\infty}_{n=1} (a_n - b_n) = \sum^{\infty}_{n=1} a_n - \sum^{\infty}_{n=1} b_n\\
  \sum^{\infty}_{n=1} c \cdot a_n = c \cdot \sum^{\infty}_{n=1} a_n
 \end{gather}
\end{tw}

\begin{definicja}
 Mówimy, że  szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest zbieżny bezwzględnie jeśli zbieżny jest szereg $\sum^{\infty}_{n=1} |a_n|$
\end{definicja}

\begin{tw}
 Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.
\end{tw}

\begin{tw}[kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych]
 Niech dane będą dwa szeregi $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$, $\sum^{\infty}_{n=1} b_n$ oraz niech $0 \leq a_n \leq b_n$ dla $ n \in \mathbb{N}$, wtedy:
 \begin{enumerate}
  \item Ze \underline{zbieżności} szeregu $\sum^{\infty}_{n=1} b_n$ wynika zbieżność szeregu $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$.
  \item Z \underline{rozbieżności} szeregu $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ wynik rozbieżność szeregu $\sum^{\infty}_{n=1} b_n$.
 \end{enumerate}
\end{tw}

\begin{tw}[o grupowaniu wyrazów szeregu zbieżnego]
 Jeżeli szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest szeregiem zbieżnym i jeśli $(l_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest rozsnącym ciągiem liczb naturalnych, to szereg $\sum^{\infty}_{n=1} \left(a_{l_n} + a_{l_n + 1} + a_{l_n +2} + \ldots + a_{l_{n+1} -1}\right)$
\end{tw}

\begin{tw}[kryterium d'Alemberta dla szeregów zbieżnych o wyrazach nieujemnych]
 Niech dany będzie szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ i niech $a_n >0$ dla $n \in \mathbb{N}$. Wtedy:
 \begin{enumerate}
  \item Jeżeli istnieje takie $p<1$ oraz takie $N \in \mathbb{N}$, że $\dfrac{a_{n +1}}{a_n} < p$ dla $n \geq N$ to $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ \underline{jest zbieżny}.
  \item Jeżeli istnieje takie $n \in \mathbb{N}$, że $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1$ dla $n \geq N$ to $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ \underline{jest rozbieżny}.
 \end{enumerate}
\end{tw}

\begin{proof}
 \begin{equation}
  a_{n+1} < pa_n < p^2 a_{n-1} < p^3 a_{n-2} < \ldots < p^{n-N+1} a_N
 \end{equation}
\end{proof}

\underline{Wniosek}: Jeżeli $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest szeregiem o wyrazach dotatnich i jeśli \[\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1\] to:
\begin{enumerate}
 \item jeśli $A < 1$, to $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest \underline{zbieżny}
 \item jeśli $A > 1$, to $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest \underline{rozbiezny}
\end{enumerate}

\underline{Przykłady}:
\begin{enumerate}
 \item
 \begin{gather}
  \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{n^2+2n}{3^n}\\
  \dfrac{a+1}{a_n} =\dfrac{\dfrac{(n+1)^2 + 2(n+1)}{3^{n+1}}}{\dfrac{n^2 + 2n}{3^n}} = \dfrac{(n+1)^2 + 2(n+1)}{3(n^2 + 2n)} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} \dfrac{1}{3}
 \end{gather}
 \item
 \begin{flalign}
  \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{n!}{2^n} & \\
  \dfrac{a_{n+1}}{a_n} & = \dfrac{\dfrac{(n+1)!}{2^{n+1}}}{\dfrac{n!}{2^n}} = 
  \dfrac{n!(n+1) 2^n}{ 2\cdot 2^n n!} =\\
  & = \dfrac{n+1}{2} \geq 1 \Rightarrow \textrm{szereg jest rozbieżny}
 \end{flalign}
\end{enumerate}

\begin{tw}[kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego dla szeregów o wyrazach nieujemnych]
 Niech dany będzie szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ i niech $a_n \geq 0$ dla $n \in \mathbb{N}$. Wtedy:
 \begin{enumerate}
  \item Jeśli istnieje takie $p<1$ i takie $N \in \mathbb{N}$, że $\sqrt[n]{a_n} \leq p$ dla  $n \geq N$ to szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest \underline{zbieżny}.
  \item Jesli $\sqrt[n]{a_n} \leq p$ dla nieskończenie wielu n, to szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest \underline{rozbieżny}.
 \end{enumerate}
\end{tw}
\underline{Wniosek}\\
Jeżeli $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = C$, to:
\begin{enumerate}
 \item jeśli $C <1$ to $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest zbieżny;
 \item jeśłi $C >1$ to $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest rozbiezny.
\end{enumerate}

\underline{Przykłady:}
\begin{enumerate}
\item $\sum^{\infty}_{n=1} \left( \dfrac{n-1}{n} \right) ^{n^2}$\\
Mamy $\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\left(\dfrac{n-1}{n} \right)^{n^2}} = \left(\dfrac{n-1}{n} \right)^n = \left(1- \frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} e^{-1} <1$\\
Ponieważ $e^{-1} <1$ badany ciąg jest zbieżny.
\item  \[\sum^{\infty}_{n=1} \left( \dfrac{n+1}{n} \right) ^{n^2}\]\\
\[\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n^2}} = \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^n = \left(1+ \frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} e^1 >1 \Rightarrow \textrm{szereg rozbieżny}\]\\
\end{enumerate}

Zauważmy, że tutaj mamy $\left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n^2} = \left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n^2} \geq 1, n \in \mathbb{N}$ a~więc nie może być $\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n^2} = 0$ i dlatego na podstawie warunku koniecznego (tw.1) widzimy, że szereg jest rozbieżny.

\begin{tw}[kryterium porównawcze w wersji granicznej]
 Jeżeli $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$, $\sum^{\infty}_{n=1} b_n$ są szeregami o wyrazach nieujemnych i $b_n >0$  dla $n \in \mathbb{N}$ i jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = g$ i $g \in (0, +\infty)$ to szeregi $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$, $\sum^{\infty}_{n=1} b_n$ są albo \textbf{oba zbieżne} albo \textbf{oba rozbieżne}.
\end{tw}

Rozpatrywaliśmy dotąd głównie szeregi o wyrazach nieujemnych. Rozpatrzymy teraz szeregi o wyrazach \underline{dowolnych} rzeczywistych.

\begin{tw}[kryterium Dirichleta]
 Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ jest ograniczony i jeśli ciąg $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest malejący i zbieżny do zera, to szereg $\sum^{\infty}_{n=1} a_n b_n$ jest zbieżny.
\end{tw}

Jako wniosek otrzymujemy:
\begin{tw}[kryterium Leibniza dla szeregów naprzemiennych]
 Jeżeli ciąg $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest malejący i zbieżny, do zera, to szereg naprzemienny $\sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n-1} a_n$ jest zbieżny.
\end{tw}
\underline{Przykład:} szeregi: \[\sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n-1} \dfrac{1}{n}, \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n-1} \dfrac{1}{n^\alpha}, \alpha > 0, \sum^{\infty}_{n=2} (-1)^{n-1} \dfrac{-1}{\ln\ n}\] sią zbieżne na podstawie kryterium Leibniza.

\begin{tw}
 \begin{equation}
  \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{1}{n!} = e
 \end{equation}
\end{tw}
\end{document}